Способы решения квадратных уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №82 с углублённым изучением отдельных предметов им.Р.Г.Хасановой» Приволжского района г.Казани

Учитель математики 1-ой квалификационной категории Загидуллин Флорис Фаизович

Классические способы решения квадратных уравнений

В школе изучаются классические способы решения квадратных уравнений с использованием формул корней квадратных уравнений, теоремы Виета. Также  имеются и другие способы решения квадратных уравнений – графический, разложение квадратного трёхчлена на множители, выделение квадрата двучлена, которые также позволяют решать квадратные уравнения. 

Определение 1.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+ bх + с = 0, где коэффициенты, а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

Определение 2.   

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или/и с равен нулю.

Определение 3.

Корнем квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах² + вх + с обращается в нуль.

Определение 4.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. 

Ниже мы рассмотрим классические способы решения квадратных уравнений.

1. 1. . Решение квадратных уравнений по формулам

Умножим обе части уравнения ах² +bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а, тогда

4а²х² + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)² + 2ах • b + b²) - b² + 4ac = 0,

(2ax + b) ² = b² - 4ac,

2ax + b = ± √ b² - 4ac,

2ax = - b ± √ b² - 4ac,

         (1)

1. Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b² - 4ac>0, уравнение ах² +bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b² - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень .

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b² - 4ac<0, уравнение ах² +bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах² +bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

Решение квадратного уравнения с помощью формул корней -  самый распространенный способ. 

Графический метод решения квадратного уравнения

Используя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере  квадратного уравнения: =0

1способ.

Построим график функции , воспользовавшись алгоритмом.

1)Имеем:

Значит, вершиной параболы служит точка (1;-4)

2) для построения параболы возьмем несколько точек, симметричных         относительно оси параболы х=1, например,  точки  (-1;0) , (1;-4), (3;0),(0;-3), (2;-3) и проводим параболу.

Корнями уравнения   являются абсциссы  точек пересечения параболы с осью х: 

2 способ

Преобразуем уравнение к виду .

Построим в одной системе координат графики функций  и  .

Они пересекаются в двух точках A(-1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B,  значит,

3 способ

Преобразуем уравнение к виду .            

Построим в одной системе координат графики функций  и .  Они пересекаются в двух точках A(-1;-2) и

В (3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек  А и В, поэтому .

4 способ

Преобразуем уравнение к виду , затем  выделим квадрат двучлена .

 Построим в одной системе координат параболу  и прямую .  Они пересекаются в точках  А(-1;4) и В(3;4).

Корнями уравнения служат абсциссы точек  А и В,                                        поэтому  .

Графический способ решения квадратного уравнения — самый наглядный, но не всегда удобен  в использовании, ведь зачастую корни уравнения – числа  нецелые.

Разложение левой части уравнения на множители

Для решения квадратного уравнения этим способом необходимо разложить левую часть уравнения на множители, затем каждый из множителей приравнять к нулю, а затем записать в ответ решение каждого из них.
Например, решим уравнение х² - 6х + 8 =0.

Разложим левую часть на множители:

х² - 6х + 8 = х²- 4x- 2x+ 8= x(x- 4)- 2(x- 4)= (x-2)(x-4).

Следовательно, уравнение можно переписать так:
(x-2)(x-4)= 0.

Произведение равно нулю, если, по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

x-2=0 или x-4=0;
 х = 2 или  х = 4.

Это означает, что числа 2 и 4 являются корнями уравнения х² - 6х + 8 =0.

         Этот способ довольно простой и понятный. Минус заключается в том, что не всегда квадратный трёхчлен, стоящий в левой части квадратного уравнения можно разложить на множители.

Выделение квадрата двучлена

         Сначала мы должны выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена в левой части уравнения. Для этого прибавим и вычтем одно и тоже число, если это необходимо для образования квадрата двучлена.
Например: х² - 6х + 8 =0;
х² – 2·3x + 9 – 9 + 8= 0;
(x- 3)² – 9 + 8 = 0;
(x- 3)² – 1 = 0;
(x- 3)² = 1;

x- 3 = 1   или x- 3 = -1;
x₁ = 2;
x₂ = 4.
 

Также как и предыдущий этот способ довольно простой, главное не ошибиться при выделении полного квадрата. А самое главное, что этот способ позволяет найти любые действительные корни уравнения.

Теорема Виета

  Приведенным квадратным уравнением называется квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен единице: .

Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

По коэффициентам  p и  q можно определить знаки корней.

а) Если сводный член q приведенного уравнения  положителен (q> 0), то уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня. Знак корней при этом зависит от знака второго коэффициента:

-если р <0, то оба корня положительные;

-если р> 0, то оба корня отрицательные.

б) Если свободный член q приведенного уравнения  отрицателен (q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p< 0 , или отрицателен, если p> 0 .

Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a, тогда

То есть по теореме Виета сумма корней квадратного уравнения равна -b/а, а их произведение с/а.

         Этот способ удобен в применении, если квадратное уравнение является приведенным, а корни – целые числа, однако поиск корней происходит с помощью подбора, что не всегда удобно. Также при помощи теоремы Виета можно решать задачи по нахождению коэффициентов уравнения, не решая его.

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Геометрический способ решения квадратных уравнений (геометрическая алгебра)

Чтобы решить уравнение х² = а древние математики поступали так:

х² – квадрат со стороной, равной х. Решить уравнение х² = а – значит найти такой отрезок х, что площадь квадрата, построенного на этом отрезке, была бы равной а. При таком подходе  к решению  уравнение могло иметь только один положительный корень, а уравнение  х² = 0 вообще не имело корней. В записи квадратных уравнений древние греки никогда в правой части уравнения не писали число 0, т. к. они считали, что 0 – ничто, а сумма величин не может быть равна «ничему». Поэтому, например, квадратное уравнение х² + 8х – 48 = 0 древние греки записывали в виде: х² + 8х = 48 .

Решим квадратное уравнение   x²+8x-48=0 данным способом.

                          Решение:

x²+8x=48

S= (x+4)² , S₁= x² , S₂=4x, S₃ =16

S₁+ 2S₂= 48 (данное уравнение)

S₁+ 2S₂= S-S₃ (по свойству площадей)

 x²+8x=(x+4)²-16=48;

(x+4)² – 16=48

(x+4)² = 48+16;

(x+4)² = 64;

x+4=8;

  x=4.

Современное решение такого уравнения дало бы нам ещё один корень х= -12.

Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения

1.  Если в квадратном уравнении  сумма всех коэффициентов равна 0, то один корень равен 1, а второй  с/а.

Пример:

2x² -8x +6=0;  (2-8+6=0)

x₁=1;

x₂=3.

2. Если в квадратном уравнении  второй коэффициент b равен сумме двух других коэффициентов ( b=a+c), то один корень равен -1, а второй  - с/а.

Пример:

6x² +8x +2=0;  ( 8=2+6)

x₁= -1;

x₂= -1/3.

3.   Если в квадратном уравнении второй коэффициент равен сумме квадрата первого коэффициента и 1, а свободный член равен первому коэффициенту, то первый корень равен -a, а второй  -1/а.

Пример:

6x² +37x +6=0;  ( 37= 6²+1; а=с=6)

x₁= -6;

x₂= -1/6.

4. Если в квадратном уравнении второй коэффициент равен числу, противоположному сумме квадрата первого коэффициента и 1, а свободный член равен первому коэффициенту, то первый корень равен a, а второй  1/а.

Пример:

6x² -37x +6=0;  ( -37= -(6²+1); а=с=6)

x₁= 6;

x₂= 1/6.

5. Если в квадратном уравнении второй коэффициент равен числу, противоположному разности квадрата первого коэффициента и 1, а свободный член равен числу, противоположному первому коэффициенту, то первый корень равен a, а второй  -1/а.

Пример:

6x² -35x -6=0;  ( -35= -(6²-1); а=-с=6)

x₁= 6;

x₂= -1/6.

Список использованной литературы:

1. http://www.seznaika.ru/matematika/uravneniya-neravenstva/
2. https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/
3. http://www.seznaika.ru/matematika/uravneniya-neravenstva
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/
5. http://mirznanii.com/a/313879/10-sposobov-resheniya-kvadratnykh-uravneniy
6. Алгебра 8 класс: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., дораб. М.: Просвещение, 2023
   7.https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia